e(自然対数)を含んだ式の通分について
今回、解説する内容は、直接質問がきたわけではありません。普段高校生に教えていてほとんどの人が知らないので紹介することにしました。
\(\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}\)の通分について
回答
上記の分数は、定積分の計算をするときにたまに出てきます。
「この式を通分して」と言われると、ついつい分母を\((1+e^x)(1+e^{-x})\)としたくなります。ただ、これって大変ですよ。
もっと、簡単な方法もあります。それは、\(\frac{1}{1+e^{-x}}\)の分子分母に\(e^x\)をかけることです。
\(\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\frac{e^x}{e^x}=\frac{e^x}{e^x+1}\)となります。これで、両方とも分母は\(1+e^x\)になっているよね。
よくこの話をすると、「こんなの思いつきません・・・」という人が多いです。僕も、高校生の頃はじめて勉強したときはそう思いました。
でも、数学ってこんなこと多いですよ。覚えておかないと、その場で考えて思いつくなんて無理！
よっぽど考えることが好きで数学が得意な人は考えていってもいいです。ですが、普通の人はそんなこと言ってられません。まずは、典型問題の解法を覚えていけばいいと思いますよ。頑張ってくださいね。
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