ルールを覚えれば誰でもできる!あなたの数学偏差値を70にするプリント!!

なぜか解ける。魔法のように解けてしまう・・・(国立大学理系現役合格)

黄チャートでさえ見るのもイヤだった。そんな私が岡山大学医学部医学科に合格!!入試結果を見たら数学の成績がかなりいい(ホント?)まわりに河見先生をすすめまくっています(笑)

今までの数学の概念が変わりました。「考える」ってそういうことだったんですか・・・(現在受講中)

なぜか解けてしまう

なぜか解けてしまう。なんで、こんなに簡単に解けるんだろう。今まで苦労していたのは、なんだったのかな?

これが、僕の授業を受けた生徒さんからよく受ける感想です。

でも、これって僕が何も特別なことをした訳ではないんです。数学って、覚えておかないといけないルールがあります(このときは、こうするといったものです)。それを覚えずに解こうとしても無理なんです。

「ルールを覚えたら解ける」っ言われても想像がつかないと思います。そこで、数列の漸化式の問題を解説してみます。以下の漸化式、国立大学では頻出です。ですが、進学校に通っている人でも解けない人が多いです。

パソコンやスマホで読んでいらっしゃる人が多いです。画面上では、数式をきれいに表記できないので、少し読みにくいかもしれません。ですが、僕の数学の問題へのアプローチの仕方が分かると思います。ぜひとも、読んでください。

問題 \(\large{a_1=1,\,\,\,\frac{a_{n+1}}{n}=\frac{a_{n}}{n+2}}\,\,\,\)の一般項を求めよ。

じゃあ、今から問題を解いていくことにするね。まず、\(\large{a_1=1,\,\,\,\frac{a_{n+1}}{n}=\frac{a_{n}}{n+2}}\,\,\,\)なんていわれても、よくわからないよね。

そこで、両辺に\(n\,(n+2)\)をかけることにするね。「なんで、両辺に\(n\,(n+2)\)をかけるの?」って思うよね。それは、後で説明することして、とりあえず両辺にかけてみることにするね。

$$\begin{aligned}
\frac{a_{n+1}}{n}&=\frac{a_n}{n+2}\\
n\,(n+2)\cdot\frac{a_{n+1}}{n}&=n\,(n+2)\cdot\frac{a_n}{(n+2)}\\
\;{\color{red}{\Uparrow \text{両辺に}}}&{\color{red}{\text{\(n(n+2)\)をかけた!}}}\\
(n+2)\,a_{n+1}&=n\,a_n
\end{aligned}$$

とりあえず、両辺に\(n\,(n+2)\)をかけて整理したら上記の通りになったよね。今から、両辺に\(n\,(n+2)\)をかけた理由を話すね。

例えば漸化式を解くときに、\(a_{n+1}=3a_n\)とか\(a_{n+1}-\alpha=\beta\,(a_n-\alpha)\)とかと変形することが多かったけど、これよくみたら左辺が\((n+1)\)の式で右辺が\(n\)の式なんだよね。

必ず左辺が\(n+1\)の式で、右辺が\(n\)の式っていう訳ではないけど、漸化式は、左辺が\(n\)の大きな式で、右辺が\(n\)の小さな式でないと解けないことが多いんだ。

\(n\)の大きな式とか、\(n\)の小さな式というのが少し数学的な表現ではないかもしれないけど、まあ分かるよね。

今回の式を見て欲しいんだけど、今回は\(\frac{a_{n+1}}{n}=\frac{a_n}{n+2}\\\)で\(n\)の大きな式が右辺の分母の\(n+2\)、そして\(n\)の小さな式が左辺の分母の\(n\)です。

だから、今回もそのルールにのっとって、左辺を\(n\)の大きな式に、右辺が\(n\)の小さな式にすることができないかな?と見てみると、両辺に\(n(n+2)\)をかけたらうまくいくということに気づいたんだ。

だって、両辺に\(n(n+2)\)をかけて整理すると、\((n+2)\,a_{n+1}=n\,a_n\)となってくれて、\(n\)の大きな式の\(n+2\)が左辺にきて、\(n\)の小さな式が右辺にきたよね。

これで、とりあえあず左辺が\(n\)の大きな式で右辺が\(n\)の小さな式になってくれました。100パーセントこうするとは限らないけど、とりあえずこうする可能性が高いと思っておいてくださいね。

とりあえず、\((n+2)\,a_{n+1}=n\,a_n\)まで変形することができました。ここから、どうやるかすごく難しいよ(知っていたら簡単だけどね)。言ってしまえば、両辺に\(n+1\)をかけたらうまくいきます。

\((n+2)\,a_{n+1}=n\,a_n\)の両辺に\(n+1\)をかけたら、
\((n+1)\,(n+2)\,a_{n+1}=n\,(n+1)\,\,a_n\)です。「あっ、これでうまくいったな」と思って欲しいんだけど、よくわからない人は「\(b_n=n\,(n+1)\,a_n\)」とでも置いてくださいね。そうすると、\(b_{n+1}=(n+1)\,(n+2)\,a_{n+1}\)ってなるよね。

これより、\((n+1)\,(n+2)\,a_{n+1}=n\,(n+1)\,\,a_n\)は\(b_{n+1}=b_{n}\)となります。これで、解ける形になります。

「言われたら分かるけど、どうして両辺に\(n+1\)をかけるって気づいたの?」なんて思うよね。でも、これは以下のルールがあるからですよ。

漸化式で、真ん中のものがあるときは、真ん中のものをかけることがある!」というルールがあります。

どういうことかと言えば、今回の場合\((n+2)\,a_{n+1}=n\,a_n\)なんだよね。こういったときは、\(n+2\)と\(n\)の真ん中の\(n+1\)を両辺にかけたらうまくいきます。

こんなの、なかなか気づけないよね。だから、覚えてくださいね。覚えたら誰でもできるようになりますよ

それでは、今回の問題の漸化式に戻ります。\(b_{n+1}=b_n\)まで変形できました。もう、ここからは簡単だよね。でも、分からない人もいるので、一応話しておくね。分かる人はスルーしてください。

まず、\(b_{n+1}=b_{n}\)はひとつ大きな項である\(b_{n+1}\)がひとつ小さい項である\(b_n\)と値が等しいといっているんだよね。

ということは、ひとつ大きな項とひとつ小さな項が常に値が等しいと言っているんだよね(逆に、等しいんだからひとつ小さな項から見ても、ひとつ大きな項はひとしいです)。

ということは、\(b_1=b_2\)が言えるよね。また\(b_2=b_3\)も言えるし、\(b_3=b_4\)も言えるし、これをずっと続けていけば\(b_n\)の値は常に等しいということが分かると思いますよ。

だから、今回の問題は、\(b_{n}=b_1\)となります。別に\(b_1\)でなくて、\(b_2\)でもいいし、\(b_3\)でも何でもいいんだけど、\(b_1\)が一番計算しやすいので、\(b_1\)にしています。

\(b_n=n\,(n+1)\,a_n\)なんだから、\(b_1=1\cdot\,(1+1)\,a_1=2\)となるので、\(b_n=b_1=2\)です。\(b_n=n\,(n+1)\,a_n\)で、これより\(\underline{a_n=\frac{2}{n\,(n+1)}}\,{\color{red}{\Leftarrow\,\text{これが答え}}}\)となります。

漸化式で、真ん中のものがあるときは、真ん中のものをかけることがある!」というルールを覚えてくださいね。

このルールでは、例えば\(\frac{a_{n+1}}{n+2}=\frac{a_{n}}{n}\)という漸化式だとしたら、真ん中の数の\(\frac{1}{n+1}\)をかけます。そうすると、\(\frac{a_{n+1}}{(n+1)\,(n+2)}=\frac{a_n}{n\,(n+1)}\)と変形したら解けます。

次に\(I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n\)という漸化式を考えていきます。まず両辺に\(n+2\)をかけます。この理由は、分かるよね。

これは、さっき話したルールです。漸化式の問題では、左辺を\(n\)の大きな式、右辺を\(n\)の小さな式にしてから解いていくんだよね。

このルールに従って、とりあえず\(I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n\)の両辺に\(n+2\)をかけて、\((n+2)\,I_{n+2}=(n+1)\,I_n\)と変形します。

ここからは、先ほどの2番目のルールの「漸化式で、真ん中のものがあるときは、真ん中のものをかけることがある!」に従うと、両辺に\(n\)と\(n+1\)の真ん中の数の\(n+\frac{1}{2}\)をかけるのかな?なんて思うけど、これはダメです。

なぜかと言うと、漸化式は整数を扱うんだよね。\(n\)と\(n+1\)の真ん中の数は整数ではないので、少し違います。

そこで、どうしようかな?と思うんだけど、左辺に\(I_{n+2}\)があり、右辺に\(I_{n}\)があるよね。で、これだったら真ん中は\(I_{n+1}\)だよね。だから、この問題では両辺に\(I_{n+1}\)をかけるとうまくいきます。

実際、両辺に\(I_{n+1}\)をかけると、\((n+2)\,I_{n+2}\,I_{n+1}=(n+1)\,I_{n+1}\,I_n\)となります。

これで、\(a_n=(n+1)\,I_{n+1}\,I_n\)とでも置くと、\((n+2)\,I_{n+2}\,I_{n+1}=(n+1)\,I_{n+1}\,I_n\)は\(a_{n+1}=a_n\)となるので、以降これを解いていけばOKです。

なんだかあっさり解けてしまったよね。今回は説明しやすいように簡単な問題を選びました。ですが、他の問題でもいっしょですよ。

「このときは、こうする」というルールを覚えていけば、自然とできるようになります。難しく感じる必要はないですよ。だって、上記の問題も「すごい難しい」なんていう人もいるけど、解法を読んで見たら簡単だったよね。

数学って、この程度なんです。プリントを使って高校生から、以下のような感想をいただきました。

*プリントで勉強をしている高校2年生の生徒さんの感想です。
河見先生のプリントは解説がとても詳しく書いてあり、問題の解く過程をひとつひとつ丁寧に追っていけました。なぜこうなるのか、疑問に思ったところはほぼ必ず解説があるので安心します。理詰めで解いているところと、この問題はこうしたら解けるという割り切って覚えるところが、はっきりしているので、そこが他の参考書と違う強みだと感じました。

数学って「こうきたらこうする」とか「このときはこうする可能性が高い」とか「これは、覚えるしか対処しようがないな」なんてものがあります。

そして、それらを覚えていけば、知らないうちに問題が解けるようになります。もちろん、難問も出題されます。そのときは、その場で考えないといけません。

ですが、実際の大学受験ではそこまで難しい問題が出題されることは少ないです。また、大学受験では満点は必用ありません。6,7割取れたら合格できます。だから、今回紹介しているプリントの問題ができるようになれば、ほぼすべての大学に合格することができます。

プリントは、簡単ではありません。大変です。それでも、これまで「数学を頑張りたい。でも、頑張り方が分からない」とか「勉強してもしてもできるようにならない」と困り切っている人に授業をして、そして結果を残しています。

このプリントは、それだけ挑戦しがいのあるものです。もし、心の底から数学の成績を上げたいのでしたら、このプリントで頑張ってください。

プリントの中身について

極限その1(数列の極限) 全51問186ページ

極限その2(無限級数、無限等比級数について) 全17問77ページ

極限その3(関数の極限と極限の入試問題) 全28問147ページ

微分(全範囲) 全105問516ページ

積分計算(不定積分と定積分の計算問題) 全86問233ページ

積分の入試問題セクション1(不定積分・定積分に関する入試問題) 全29問185ページ

積分の入試問題セクション2(面積に関する問題) 全37問319ページ

積分の入試問題セクション3(体積に関する問題) 全21問153ページ

積分の入試問題セクション4(区分求積法) 全11問36ページ

積分の入試問題セクション5(曲線の長さに関する問題)全4問12ページ

積分の入試問題セクション6(媒介変数表示に関する問題) 全11問94ページ 

積分の入試問題セクション7(積分の不等式に関する問題) 全25問155ページ

各プリントの内容

極限その1(数列の極限) 全51問186ページ

数列の極限をまったくの基礎から解説しました。不定形、分数形の極限、\(r^n\)の収束条件・・・すべて解説

数列の漸化式では数学Bの数列の知識が必須です。理解できていない人が多い漸化式をすべて解説。これさえできれば漸化式は完璧です。

受験で、最頻出の\(|a_{n+1}-\beta|\leq\alpha|a_n-\beta|\)を示した後の、数列\(\{a_n\}\)の極限値を求める問題を3問掲載。他にも受験問題を多数掲載!

極限その2(無限級数、無限等比級数について) 全17問77ページ

\((1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots\)の無限級数は0に収束するが、\(1-1+1-1+\cdots\)の無限級数は収束しない理由は?

なんていう、問題の解き方は?他にも受験問題を多数掲載!

極限その3(関数の極限と極限の入試問題) 全28問147ページ

が収束しない理由とは?

といった複雑な極限値もルールに従えば単純に解けてしまいます。

数列の知識も必須です。多くの人が苦手にしている、格子点、群数列に関して基本から解説しています。

微分(全範囲) 全105問516ページ

微分をまったくの基礎から、受験レベルまで完全解説!

みんなが苦手としている2階微分、漸近線の求め方などグラフを徹底解説!

\(f'(x)\)の正負を知るにはグラフを使う方法がある。これさえ知っていれば、\(f'(x)=1+\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\)といった複雑でも、\(f'(x)\)の正負を簡単に知ることができます。

積分計算(不定積分と定積分の計算問題) 全86問233ページ

面積や積分に進む前に不定積分・定積分の計算を完璧に仕上げてもらいます。これができなければ理系の入試は厳しいです。難しく感じている人も多いですが、ごくごく簡単。単純に覚えていってもらえばいいだけです。置換積分、部分積分、部分分数分解を使った積分など、このプリントだけで積分計算は完璧です。

積分の入試問題セクション1(不定積分・定積分に関する入試問題) 全29問185ページ

受験に最頻出です。にもかかわらず理解できていない人が多い!その問題を徹底解説!

「積分漸化式の最初の式変形は?」これを知らなければ、プリントをする価値があります。

このセクションは難しいです。その変わり変形するのが難しく同じ問題が繰り返し、繰り返し受験で出題されます。

島根大学医学科を合格した生徒さんです。大学の過去問をみると、この単元から1問でそう、だから、この単元だけは絶対に完璧に解けるようになるまで繰り返し頑張ってもらいました。

そして、出題されたのがこのプリントの問題19に掲載している問題とまったく同じ問題が出題されました。「解けました!」と喜んでいたんですけど、「まったく同じ問題なんだから解けないと困ります」。難しいけど、ひねりようがない単元です。このプリントを繰り返し解けば、入試レベルまで完璧です。

積分の入試問題セクション2(面積に関する問題) 全37問319ページ

なぜ、積分で面積が求まるの?これが分かれば、側面積など複雑な面積も意味を考えて簡単に面積を求められるようになります。

受験では頻出だが、多くの人が苦手にしている逆関数の面積に関する問題を掲載!

面積だけでなく大学受験の総合問題も掲載!媒介変数の軌跡はなぜ媒介変数を消去したら求められるの?直線のベクトル方程式、回転移動、など受験生が苦手としている部分を徹底解説!

積分の入試問題セクション3(体積に関する問題) 全21問153ページ

体積の意味を解説。\(\int{}{}\pi y^2\,dx\)の意味を解説。これが分かれば、\(x\)軸回転や\(y\)軸回転以外、例えば直線\(y=1\)の周りに回転する、といった問題も簡単に解けます。

受験では必須の知識、斜回転体の積分、バウムクーヘン型の積分、パップスギュルダンの定理等、高校ではあまり教わらないテクニックを多数解説!

非回転体の体積、空間座標の回転体の体積といった難関大学では頻出だが、多くの参考書や問題集では、「こんなのもありますよ」程度にしか解説されていない問題を徹底解説!

積分の入試問題セクション4(区分求積法) 全11問36ページ

意味も分からずに解いている人が多い、区分求積の意味を解説。

区分求積法は、大問で出題されることは少ないです。ですが、出題されるとしたら以下のような問題です。
過去、北大、東工大、金沢大、防衛医科などほぼ同じ問題が繰り返し、繰り返し出題されています。

積分の入試問題セクション5(曲線の長さに関する問題)全4問12ページ

曲線の長さは定積分の計算がややこしいです。でも、考え方にコツがあります。\(\int_{}{}\sqrt{1-\sin x}\,dx\)の積分ができない人は注意してください。

積分の入試問題セクション6(媒介変数表示に関する問題) 全11問94ページ

入試では頻出だが、多くの高校生が苦手にしている媒介変数表示を徹底解説!

リサージュ曲線、サイクロイド、内(外)サイクロイド(円をころがる軌跡です)、アステロイドなど有名曲線はすべて網羅。もちろん、すべて丁寧な解説付きで、しっかりと理解できます。

\((x,y)=(r(\theta)\cos\theta,r(\theta)\sin\theta)\)の形で表される曲線の面積は、おうぎ形の面積を足し合わせて求めることができます。このような受験テクニック的な問題も徹底解説!

積分の入試問題セクション7(積分の不等式に関する問題) 全25問155ページ

受験で頻出の、不等式の積分の問題を解説!

面積を使った大小比較、単調な関数を使った不等式のつくり方他、多くの学校ではテキトウにしか扱わない箇所を丁寧に解説しています。

プリントをすれば上記の知識がすべて手に入ります

プリントをすれば上記の知識がすべて手に入ります。スゴくないですか?

「なぜ、ここでこのように変形したのか?」ということを徹底的に解説しています。ですから、数学があまり得意でない人でもプリントを読み込むことで、自然と理解できるようになってきます。

プリントの料金について

プリントの料金は、上記のプリントすべてがセットで税込み39,800円です。

安心の全額返金保証

ここまで、僕がプリントのメリットばかりを話してきました。

ですが、こんなネットの話し信用できないですよね。僕が、あなたの立場だったら「プリントやってみたい気もするけど、なんだか怪しいしやめておこう・・・」と思うでしょう。きっとあなたもその不安があると思います。

ですから、全額の返金保証をつけることにしました。ご注文いただいてから1か月以内でしたら理由のいかんにかかわらず、喜んですぐに全額を返金いたします

返金希望の連絡もいたって簡単です。メールの件名で「返金希望」と書くだけでいいです。理由など他の事柄は一切書く必要はありません。

このプリントを使うことで、あなたの貴重な時間を奪ってしまうかもしれません。それはお返しすることはできません。ですから、せめて金銭的なご負担だけでも、といった気持ちで返金保証をつけています。

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いきなり購入するよりも、プリントがどんなものか確認したい!」と思われた方のために、極限のプリント(その1)をサンプルとして無料でお送りいたします。

このプリントは一切無料です。プリントを試してみて「これならいけそう!他の単元のプリントも欲しい!」となりましたらメールで連絡してください。

プリントをやってみた上で「あわないな」と感じたら無視してください。金額は一切発生しないので安心してください。

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国公立大学 島根大学医学部医学科合格!
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国公立大学 千葉大学国際教養学科合格!
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