有理数を解にもつ方程式の解法他ー高校数学の達人・河見賢司のメルマガ(2018年4月3日)

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高校数学の達人・河見賢司のメルマガ
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目次
【1】お知らせ

【2】数学の問題解説
数学IA 「方程式が有理数解をもつときの問題」
数学IIB「領域の最大値・最小値問題」
数学III 「関数の極限に関する問題」

【3】勉強法
「同じことを繰り返し、繰り返ししよう!」

【4】編集後記

【5】プロフィール

お知らせ

こんにちは、河見賢司です。

それでは、今回もメルマガよろしくお願いします。

 

数学の問題解説

典型的な有名問題を中心に解説しています。「なぜ、そのように考えたのか?」ということを丁寧に説明しているので分かりやすいと思いますよ。

 

分かりやすいように、問題をレベル分けしています。問題を解くときの参考にしてください。

 

*難易度は、「基礎」「標準」「発展」「難問」に分けています。

「基礎」は教科書基本レベル。「標準」は定期試験向け、入試の基本問題。「発展」は国公立大学、MARCH、関関同立の志望者向け。「難問」は難関大学(上位国立、早慶、理科大)の志望者向け。

数学IA

「方程式が有理数解をもつときの問題」

単元:「整数」  難易度:「発展」

\(4x^3-(x+9)x-2(a-2)=0\)が有理数の解をもつようなaの値を求めよという問題を解説しました。

こういった有理数の問題は、実際の大学受験にもよく出題されます。ですが、苦手にしている人が多いです。

よく出てくるタイプの問題です。ぜひともプリントを通して理解しておいてください。

PDFファイルの解説プリント

 

数学IIB

「領域の最大値・最小値問題」

単元:「数列」  難易度:「標準」

領域の最大値・最小値問題です。

今回の問題は、ある領域が与えられています。このときの\(x^2+y^2-6x+9\)の最大値と最小値を求める問題です。

こういったタイプの問題は、\(x^2+y^2-6x+9=k\)とでもおいて円\(x^2+y^2-6x+9=k\)と領域が共有点をもつとき、と解いていく人が多いです。

もちろん、それでもよいのですが、円と領域が共有点をもつは少し分かりにくいです。

今回の問題は、2点間の距離ともっていくことができます。

詳しくは解説プリントを読んでください。

PDFファイルの解説プリント

 

数学III

「関数の極限に関する問題」

単元:「極限」  難易度:「基礎」

関数の極限の問題を解説しました。

\(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)と、したくなります。

ですが、これはしてよいときと、してはダメなときとがあります。

問題のレベルは基礎としています。ですが、このあたりのことをしっかりと理解できている人は少ないです。

ごくごく簡単なプリントです。

数学の得意な人にも、そうでない人にもぜひとも見て欲しい内容です。

PDFファイルの解説プリント

 

数学の勉強法

ちょっと、変わったページを作ってみました。

 

問題としては、「x>0のとき、\(\frac{x}{x^2+x+1}\)の最大値を求めよ」

なんですが、この問題の考え方を会話形式のかなりの長文で説明しています。

少し、問題の説明とは、離れた事柄も書いています。

 

たぶん、最初のうちは「この人、何言ってんの?」なんて思う人も多いと思います。

でも、それでも繰り返し、繰り返し読んでください。

回数をこなせば、僕の言わんとしていることも分かってくると思います。10回、20回と軽い気持ちで読んでもらえると嬉しいです。

以下のページを見てください。
会話形式の解説

 

 

今回のテーマは、「同じ事を繰り返ししよう!」です。

僕は、受験生のとき物理が一番の得意科目でした。でも、始めから物理ができたか?というと全然でした。

お恥ずかしい話し、全統模試で0点をとりました。当然、全国最下位(涙)

 

たまたまた友人からもらった「橋元流」という問題集で勉強しました。

その中で、「はっきり言ってコンデンサーは受験生泣かせ。理解できるまで50回でも100回でも読むこと!」などと書かれていました。

 

頭の悪い僕は当然なかなか理解できません。1回で理解できる人もいるみたいなのですが10回読んでも分かりません。

でも、数十回繰り返しているうちに急に「あっ、こんなことを言っているのだな」ということが分かってきました。

「ああ、こんな頭の悪い僕でも回数をこなせばできるようになるんだな」と不思議な感覚だったことを覚えています。

 

 

巷ではよく「同じ事を繰り返すことが重要」と言われています。スポーツ選手でも、凄い人ほど同じ基本的なことを繰り返しています。

これって、回数をこなすことの重要性を本能的に理解しているのかな?なんて思います。

 

数学でも、「僕、もうこれ分かりました」と次々と前に進めたい人がいます。

でも、そういう人に限ってほとんど理解できていません。

 

例えば「僕は、もう青チャートは理解できた。だから、もっと難しい問題集を進めたい」と言ってくる人がいます。

そういう人に、実際に青チャートの問題を解いてもらいます。そうすると半分どころか、2,3割程度しか解けないことが多いです。

1回やっただけで理解できる人はいません。何回も、何回も繰り返し解きます。

 

また、理解できた問題であったとしても、同じ問題を解いているとどんどんと数学の力があがってきます。

「理解できた問題はしなくてよい。時間の無駄」という人もいます。確かにその意見ももっともです。

ただ、同じ問題でも繰り返し解くことによって、ぐんぐんと数学の力がついてきます。

 

少し信じられない話をします。

ある問題を何度も解きます。繰り返し解いているとその問題が解けるよになる。このことは理解できると思います。

でも、繰り返すことで、それ以上の力がついてきます。

それ以外(繰り返しやって解けるようになった問題)の問題も解けるようになることがあります。

 

「そんなことある訳ないよ」と思われる気持ちよくわかります。でも、実際よくあることみたいです。

サッカー選手で、ありえないスーパープレイを連発する選手がいました。

当然、そんなプレイは普段の練習ではやっていません。体が自然と反応したのでしょう。

「どうしたら、そんなことができるのですか?」と聞くと、「普段、基本練習を繰り返しているから自然と体が反応した」と答えていました。

 

スポーツなら、繰り返しが重要ということを理解している人も多いです。でも、数学も同じです。

「繰り返す時間がないよ」なんていう人がいます。確かにそうですよね。

でも、やってみるとそれほど時間はかからないんです。

僕の物理のコンデンサーもそうでした。1回読むのに5分程度です。50回読んでも250分つまり4時間ちょっとです。

たった、4時間で受験で頻出のコンデンサーが理解できるんなんて凄いですよね。

実際に繰り返していけば、どんどん短時間でできるようになってきます。

ただ、数学は同じ問題を繰り返すことも重要です。ただ、違った問題をすることも重要です。

そのあたりのバランスを意識しながら、勉強していけばよいと思います。

 

 

編集後記

大学に入ってから、いろいろな人の本を読みました。

いろいろな人が繰り返しの重要性を話しているのです。

 

大学時代や若い頃読んだ本を思い出しながら、繰り返すことの重要性を説いた人を紹介したいと思います。

「数学と全然関係ないよ」なんて思う人はスルーしてください。

また、思い出しながらなので多少記憶違いはあるかもしれません。

「そんな人もいるのかな?」なんて簡単な気持ちで見て欲しいです。

 

 

ジェームス・スキナーさん

日本に「7つの習慣」というベストセラー本を紹介した人物です。

誰も出版社が取り扱ってくれないので、自分で出版社を作ったというすごい人です。

若い頃、ジム・ローンさんという偉大な人から、すでに読んだ本を紹介されたそうです。

「その本はもう読みました」と言うと「あなたはこの本を何回読みましたか?私は何度も何度も読んでいます。でも、あなたは1回だけ。私は、今うまくいっています。でも、あなたはうまくいっていない。この差はなんですか?」と言われて、回数をこなすことの重要性を認識したそうです。

 

 

オグ・マンディーノさん

「この世で一番の天使」などの本を書いた作家さんです。

その作家さんで「The Greatest Salesman in the World」という著書があります。

その中で10分ほどで読める訓示のような文章を、毎日朝、昼、晩と1日3回、1か月読み続けなさいという内容でした。

単純計算、同じ文章を90回読むことになります。

同じ文章を、100回読むことで自分の中に浸透するということです。

 

 

斎藤一人さん

日本一の商人と呼ばれている人です。

「この話は100回聞いてくださいね。その理由は100回聞いたら分かりますよ」

 

 

石井裕之さん

カウンセラーのお仕事をされている方です。

「『1回読めばわかる』と言う人がいる。でも、そうじゃない。自分の血となり肉となるには同じ事を繰り返し、何度でも読むことが重要。何度も読んで始めて、著者の考え、言いたいことが理解できるようになる」

 

 

要は、飽き飽きするぐらいまですることばポイントのようです。

飽き飽きすぐらい繰り返して、やっと自分の中に浸透していくということです。

 

で、その侵透させる方法は繰り返しが何よりも重要です。その繰り返すとき、真剣にやった方が当然よいと思います。

でも、真剣にできないこともあると思います。

 

僕の物理もそうでした。そりゃ真剣に50回読んだ方ができるようになると思います。

でも、凡人の僕にはそんなのは無理でした。

 

ラクな気持ちで「50回読めばいいんでしょ」と、ときにはグダグダなときもありました。

そんな、グダグダなやり方でも、繰り返し繰り返しやっているとできるようになってきます。

 

人間の脳みそって、重要なものを脳に残していきます。重要かどうかの判断の仕方としては接触頻度です。

そんなに興味がなくても接触回数させ多ければ、知らず知らずのうちに覚えてしまいます。

例えば、電車通学の人。毎日通っていると、途中の停車駅の名前くらい覚えてしまいますよね。

 

これも、覚えようとしなくても繰り返しているから覚えてしまうのです。

もちろん、真剣にした方がよいのかもしれません。でも、どうしても無理ということも多いと思います。

そんなとき、多少気合が抜けていても「なんとか情報に触れていたら、いいのね」という軽い気持ちでやっていれば効果が出てきますよ。

 

それでは、頑張ってください。

 

 

河見賢司

 

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