チェバの定理の逆をつかった問題解説（高校数学の達人・河見賢司のメルマガ2021年1月12日）
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目次
【１】お知らせ
【２】数学の問題解説
「チェバの定理の逆を使う問題」
【３】数学の勉強法
「数学の考え方」
【４】編集後記
【５】プロフィール
お知らせ
こんにちは、河見です。
今週末、共通テストですね。受験生の人は、落ち着いて頑張ってください。
共通テストですが、国立大学の人は特に何科目もあります。いくつか失敗する科目が出てくるのは当たり前のことです。
失敗しても落ちついてテストにのぞんでください。失敗する科目、たまたまうまくいく科目
総合したら実力通りに落ち着きます。とにかく、あせえらずに試験に集中したらいいですよ。
数学の問題解説「チェバの定理の逆を使う問題
今回は、「チェバの定理の逆を使う問題」の有名問題を１問、解説します。
「チェバの定理の逆」はどういったときに使うの？と思う人もいると思います。
詳しくは解説プリントを見て欲しいのですが、「チェバの定理の逆」は３直線が１点で交わるときに、使います。
チェバの定理の解説プリント
それでは、頑張ってください。
数学の勉強法「数学の考え方」
高校生の前で数学の問題を解いていると、「よくそんなにすぐに解法が頭に浮かびますね」と言われます。
どのように考えているのか？ということを、少し話します。
先ほどのチェバの定理の逆に関する問題を例にとって話します。
まず、「三角形が与えられていて」「１点で交わることを示せ」と見たときに、
「あっ、これって『チェバの定理の逆』で示すのかな？」と考えます。
と言うのも、「１点で交わることを示せ」ときた場合、できる解法は限られています。
その中で、三角形がきた場合、「ベクトル」「チェバの定理の逆」「座標を設定して解いていく」くらいしか示せるものはありません。
だから「チェバの定理の逆」を使うことを思いつきました。
例えば、関数の最大値・最小値問題のとき
・グラフを使って解く最大値・最小値問題かな？
・相加相乗平均を使って解くのかな？
・逆手流を使って解くのかな？
などと、最大値・最小値問題での解法を頭の中に浮かべます。
頭の中で検索をかけて、解けそうな解法を思い浮かべます。
解法が分かり次第、それで解いていきます。
もちろん、問題によっては、実際に解いてみないと解法がわからないという問題もあります。
そんな場合、とりあえず自分の思いついた解法の中で可能性の高そうな解法を試します。
それで、解けたらOKですし、解けなければ、次の解法で解いていきます。
解ける解法が思いつくまで、それを繰り返します。
「なぜ、解法を思いつくのか？」の答えですが、いろいろな解法を覚えているから、それに過ぎません。
「数学は解法暗記は意味がない。考えて解くことが何よりも重要」なんて言う人がいます。
でも、これって誤解している人が多いです。
もし、どんなに頭のいい人でもあったとしても、解法を知らなければ、その場でどんなに考えても解法が思いつくはずがありません。
先ほどのチェバの定理の逆の問題もそうです。頭の中に、チェバの定理の逆が入っていなければ、どんなに考えて解けません。
だからこそ、最初は定理・公式や典型問題の解法暗記するということは最低限必要です。
「考えて解く！」といっても、道具としてそれらの知識が必要なのです。
「勉強をしているのに、数学ができるようにならない！」と言っている人は、ほぼ100パーセント、典型問題の解法が頭に入っていません。
まずは、教科書準拠やチャートといった、典型問題が網羅されている問題集を完璧にしてください。
そうすれば、数学の成績も格段にあがりますよ。
そうして、はじめて考えるための道具がそろったことになります。そこからは、いわゆる思考力の必要な問題も考えることができるようになりますよ。
頑張ってください。
編集後記
突然、ですけど大学のときに言われた卒業論文のテーマの選び方の話です。
卒論のテーマの選び方は、過去の論文を読んで
その１
過去の論文でまったく扱われていなかったテーマを選ぶ
その２
過去の論文で言われていたことで、自分が「この部分がおかしい」と感じたらそれをテーマにする。
その２ですが、冒頭は例えばこんな感じです。
「Aさんの論文ではこう書かれていた。でも、この部分に懐疑的な箇所があるので、調べてみることにした」
はじめてこの話をきいたとき、「なんだか重箱の隅をつつくようで、イヤな奴になりそうだな。性格がひねくれそう・・・」なんて思っていました。
まあ、普段から矛盾点を見つけて細かいことを指摘ばかりしていたらイヤな奴になるけど、
何か大きなことを決めるとき、「これまで言われていることは正しいのかな？」なんて考えることも重要なのかな？と思います。
あと、教授からはよく以下の注意を受けていました。
「予測してからデータを集めてはダメ。データを集めてから、データをもとに考える」
例えば、僕は気象専攻だったので、卒論のテーマは「冬型の気圧配置のときの風向」についてでした。
1980年以前は西向きの風向だったのが、1990年から2000年ごろにかけては北向きの風向に変わってきている、とのものです。
そのとき、結果をもとにデータを集めると、どうしてもバイアスがかかってしまいます。
ついつい、自分に不利なデータは却下したくなります。ですが、正当な理由なしにデータをぬきとっては、不正です。
「なぜ、そのデータを採用したのか？」ということを述べることができなければ、失格です。
ものごとを決めるときは、どうしても自分にとって都合の良いことだけで考えてしまいます。
ただ、そんなとき「データを集めてから客観的に判断せよ」という教授の言葉を思いだします。
河見のプロフィール
河見って、どんな人？と思った人は以下のプロフィールをみてください。
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