ルートを含んだ式の同値変形について
突然ですけど、以下には間違いがあります。どこが間違っているかわかりますか？
$$
\begin{aligned}
2\,(1-p)&=\sqrt{2}\,\sqrt{1+p^2}\\
4\,(1-p)^2&=2\,(1+p^2)
\;{\color{red}{\Leftarrow \text{両辺を２乗した！}}}\\
2\,(p^2-2p+1)&=1+p^2\\
p^2-4p+1&=0
\end{aligned}
$$
解の公式より、\(p=2\pm\sqrt{3}\;{\color{red}{\Leftarrow \text{これが答え！}}}\)
この間違いに気付きにくいという人が本当に多いんですけど、どこが間違っているかというと２乗をしたところです。
詳しくは以下のプリントを読んで欲しいのですが、２乗をすると同値性が崩れてしまい余計な答えが出てきてしまいます。
同値変形って本当に重要なんですけど、普段高校生に教えていて同値性を意識できている人は本当に少ないです。
何気なく解いていても、同値変形になってくれていて正解するということも多いですが、今回のように同値性を意識しないと間違ってしまうということもあります。
「同値変形？難しそうだな」そう思う人もいるとは思いますが、内容としてはごくごく簡単です。ぜひとも目を通しておいてください。
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