２項定理と累乗根を含んだ不等式の証明
高校生からの質問
次の問題ってどう解けばいいですか？
\(n\)を自然数とする。不等式\(\sqrt[n]{n}<1+\sqrt{\frac{2}{n}}\)を示せ。
回答
そうですね。確かに難しい問題かもしれません。でも、これくらいはすぐに式変形を気づけるようになって欲しいです。
まず、累乗根は考えにくいので両辺をn乗します。また、両辺をn乗すると右辺に(２項の和)のn乗が出てきます。この形が出てくると２項定理を使うぐらいしか式変形のしようがありません。
「数学はこの形だとこう式変形をする」といった決まりごとがあります。こういうことを普段から意識して解いていると、難しい問題でも自然と解き方が頭に浮かんでくるようになってきます。
ある程度公式は覚えたけど、なかなか数学ができるようにならないという人はぜひともこのプリントで勉強をするようにしてください。
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