数学メルマガ「できるまで繰り返そう」

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　「少し難しいと解けなくなる人のための高校数学勉強法VOL８８」

　　　　　　　　　　　　　

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目次
【１】数学のテクニック集
　　　（１）「同次式」の問題その２

【２】高校生からの質問
　　　（１）log xの積分について
　　　（２）sin,cos,tanって何？

【３】本日のテーマ
　　　「できるまで繰り返そう」

【４】編集後記

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【１】数学のテクニック集

学校や予備校ではあまり説明されることはないけど、実際の大学受
験ではよく出題される知識を紹介していくことにしていました。

このテクニック集も、「高校生からの質問」と同じように、初級、
中級、上級にレベルわけしてあります。

初級はすべての高校生に見てもらいたい内容。中級は大学受験で数
学を使う人に見てもらいたい内容。上級は難関大学志望者に見ても
らいたい内容です。

（１）数学I+II+III　レベル：中級

「同次式」の問題その２

前回、同次式を解説しました。同次式は、よく出題されるのでしっ
かりと理解しておいてください。

今回は、前回の同次式に引き続き、少しレベルの高い問題を紹介し
ます。

この問題は、数学Iの解法、数学IIの解法、数学IIIの解法の３通り
の解き方があります。

受験で出てきたときは、好きな解法で解けばいいわけですが、普段
の勉強では一通りの解き方ではなく、複数の解き方を考えることで
格段に数学の力があがります。

いろいろな解法を理解するようにしてください。
http://www.hmg-gen.com/situmon/tsuugaku12/12-2.html

リンク先のページの「同次式のプリントその２」が今回の問題です。

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【２】高校生からの質問

高校生から実際に質問のあった内容をＰＤＦファイルで解説してあ
ります。

質問内容を、レベルわけして申し訳ないんですが閲覧者の利便性を
考え、初級、中級、上級とレベルわけさせてもらいました。

初級はすべての高校生に見てもらいたい内容。中級は大学受験で数
学を使う人に見てもらいたい内容。上級は難関大学志望者に見ても
らいたい内容です。

実際の高校生が、疑問に思ったところなので役に立つと思います。
また数学の問題が分からない、この問題を解説してほしいという人
はメールください。解説しますよ。

（１）数学IIIC　 レベル：初級

Ｑ：log xはどういうふうに積分をしたらいいですか？

Ａ：log xの積分って頻出なんですけど、意外なほど理解できてい
　　ない人が多いです。

　　と、偉そうに言っていますが、僕も高校生の頃はじめて勉強し
　　たときは、なんだか理解しにくいなと感じて、なかなか理解で
　　きなかったことを覚えています。

　　このlog xの積分は部分積分を使って解いていきます。部分積
　　分は公式が複雑で慣れるまで少し難しいかもしれません。慣れ
　　るためには、とにかく問題数をこなすしかありません。

　　ある程度、理解できたなと思えたら自力で解けるようになるま
　　で何回も問題演習を繰り返すようにしてください。
http://www.hmg-gen.com/situmon/suugaku3C/3C-9.html

（１）数学IA　 レベル：初級

次の質問ですが、質問してくれたのは高校１年生の人です。メール
で質問を受け付けましたが、内容を公開することを許可してくれた
ので、質問メール、私の解答をそのまま掲載します。

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質問

sin、cos、tanってありますよね。これって何を表す単位ですか？
sinθって何を、どこを表してるんですか？正弦とかってどこ？
そういう基本的な、最早数学の範囲じゃないようなコトですが・・

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私の回答

こんにちは、「高校数学の通信教育」の河見です。
ご質問ありがとうございます。さっそくなんですが、質問の回答に
うつります。

>sin、cos、tanってありますよね。これって何を表す単位ですか？
>sinθって何を、どこを表してるんですか？正弦とかってどこ？

確かにsin,cos,tanっていきなり出てきても分からないですよね。
僕も、高校生の時はじめて見たときは、なんだかまったく分からな
かったのを覚えています。

では、説明に入りますね。

sin,cos,tanは単位ではなく、簡単にいえば直角三角形の比のこと
です。

sin,cos,tanにはそれぞれ定義がありますが、直角三角形どうしの
線分比を表しています。定義は詳しくは教科書などに必ず載ってい
るのでそちらで確認をしてほしいのですが、

sin=(斜辺)/(高さ)
cos=(斜辺)/(底辺)
tan=(底辺)/(高さ)

上記がsin,cos,tanの定義です。

例えば、３０度の直角三角形のとき、
(底辺):(斜辺):(高さ)=1:2:(ルート３)になるので、

sin30度=1/2
cos30度=(ルート3)/2
tan30度=(1)/(ルート3)

上記のようになります。

勉強をしていてsin,cos,tanなんて意味不明のものが急に出てきた
ら難しく感じちゃいますよね。

でも、sin,cos,tanの定義自体は単なる直角三角形の線分比をあら
わしているだけのものだから、難しいと思わない方がいいですよ。

慣れてくると簡単だと思えるようになります。最初のうちは、こん
なもんなんだという感じで、ある程度なんとなく分かったら進めて
いってもらったらいいと思います。

繰り返しになりますが、sin,cos,tanは単なる直角三角形の線分比
を表したものにすぎません。

sin,cos,tanは単に直角三角形の線分比を表しただけのものなので
重要でない（使い道がない）ように感じるかもしれません。

でも、このsin,cos,tanを用いることにより、これまでは求めるこ
とができなかった三角形の角度の大きさや直角三角形でない三角形
の面積を求められるようになります。

なぜ、こうなるかは出てきた時に、のちのち理解していけばいいの
で、現段階では「sin,cos,tanを使えば、これまで求められなかっ
たいろいろな値が求められるようになるんだな」そのくらいの感じ
でOKです。

最後に、正弦や正接の意味ですが、これは単にsin,cos,tanを日本
語にしただけです。

正弦はsin、余弦はcos、tanは正接です。

ですから、正弦の値を求めよという問題があれば、sinの値を求め
ればいいです。

今回は、質問が定義そのものでしたので、説明が少しわかりにくか
ったかもしれません。もし分からなければ、再度質問をしてもらえ
れば、何度でも答えますよ。

ただ、定義は覚えてしまうしかないので、ある程度覚えられたなと
思えたら、どんどんと問題をこなしていけばいいと思います。

問題をこなしているだけで、自然と理解できると思います。

それでは、がんばってください。

河見賢司

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返信メール

線分の比だったんですね！

先生がその辺りをそっくり飛ばして、すぐに求め方に入ってしまっ
たので、問題 は公式とか覚えたら解けたんですが、その辺りがあ
やふやで……とっても助かりましたぁ！！

ありがとうございました！！！

また分からないものが出て来たら、メールさせてもらいます！！
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こういうふうなやり取りはとてもうれしいです。数学の質問、疑問
点分からない点があるのなら、どんどの質問をしてください。

できるかぎり丁寧に回答させてもらいます。

それから、みんなつまづいているところはだいたい同じなんです。
あなたが、質問してくれることで、同じ所で理解できないで困って
いる高校生を助けることになりますから。

それでは、本日のテーマにうつります。

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【３】本日のテーマ「できるようになるまで何度も解きなおそう」

「数学の問題は何回やればいいですか？」とよく質問されます。

でも、この質問って本当に意味のないものなんです、質問に答える
とすると「できるようになるまで何度でも」です。

普段高校生に数学を教えていますが、たった１回解けないくらいで
私は頭が悪いという人が多いんです。

数学の問題をたった１回で理解できる人なんとほとんどいません。
できるようになるまで何回も何回も繰り返すしかないんです。

これまで多くの生徒を見てきました。僕自身の経験もそうですが、
もちろん数学には能力があってほとんど勉強しないでも大学受験に
成功する人もいます。

でも、数学の能力のあまりない人でも繰り返し、繰り返し解きなお
すことで、成績は上がっていきます。

ごくごく一部の人を除いたら、勉強のできる人はやっぱりコツコツ
と勉強を続けることができた人たちなんです。

能力はそれほど差はありません。特に、高校数学は中学までの数学
と比べ、ヒラメキはあまり必要ありません。中学校までの数学は、
覚えるべき定理や公式が少ないです。そのかわり、特に図形問題な
どは解くときにヒラメキが必要で数学的センスが求められます。

一方で、高校数学はどれだけ典型問題を覚えられるかがポイントと
なります。

中学生までまともに勉強しなくても数学はいい点数をとれていたの
に、高校生になったとたん点数がとれなくなったという人が多くい
ます。

この原因は、中学校まではある意味数学のセンスだけで対応できて
いたのに、高校数学では、センスだけで対応するのが無理になるか
らです。

逆からいえば、高校数学は、数学の能力のあまりない人でも、典型
問題を繰り返し、繰り返し解くことでできるようになります。

数学は、とにかく何度も、何度も繰り返し解くということが重要で
す。そして、繰り返しているうちに、自然と数学の能力もあがって
きて、難しい問題も解けるようになりますよ。

それまでが、大変ですが、がんばってください。

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【４】編集後記

「勉強をして何になる」なんてよく聞きますよね。あなたがそう思
っているかどうかは知りませんが、少しはそう感じているかもしれ
ません。

僕も高校生の頃、「勉強なんて」と思っていました。

でも、どうしても行きたい大学ができて、勉強をしてみました。な
ら勉強は嫌いだったけど、実際やってみてできるようになると嬉し
いんですね。

勉強自体は、嫌いかもしれないけど、なんか自分の成長を実感でき
るような気がして、嬉しかったです。

「自分の成長に気づけてよかった」なんてクサイ言葉がありますが、
当時の僕の心境はまさにそれでした(笑)

勉強は、楽しくないと感じるかもしれませんが、いざやってみると
意外に楽しかったりもします。

大学に行きたいのなら、やっぱり勉強をした方がいいと思います。
最初のうちはしんどいかもしれませんが、できるようになったら楽
しいですよ。

それでは、がんばってください。

河見でした。

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